Математика. Теорема синусов.

Теорема синусов. Простейшее доказательство.

h=a×sinb=b×sina. a×sinb=b×sina, следовательно a/sina=b/sinb...=c/sinc

Математика. Теорема о биссектрисе.

Теорема о биссектрисе. Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Имеем треугольник АВС. Биссектриса АМ делит треугольник на два треугольника: ABM и ACM. Площадь ABM=BM×h=x×h. Площадь ACM=CM×h=y×h.

Отношение площади ABM к АСМ=x/y=c/b.

Математика. Площадь треугольника.

1. Выразим площадь треугольника через две стороны и угол.

Площадь равна (СB×AM)/2=(a×h)/2=(a×b×sin¥)/2.

2. Площадь треугольника через вписанную окружность. Пусть в треугольник ABC вписана окружность.

Площадь треугольника можно разбить на площадь трёх внутренних треугольников: BOC, COA, AOB. S(ABC)=S(BOC)+S(COA)+S(AOB)=(a×h)/2+(b×h)/2+(c×h)/2=(a×r)/2+(b×r)/2+(c×r)/2=(a+b+c)/2×r=P/2×r.

Математика

Теорема косинусов. Доказательство через тригонометрию.

Имеем треугольник ABC. CB=a, CA=b, АВ=c. Угол между b и а = гамма. Нужно выразить сторону с.

Готово.