Тригонометрия. Преобразование формул

Как легко получить произведение из суммы:

Двойные, тройные и половинные углы.

Тригонометрия.

Формула вспомогательного угла.

Так, например,

Тригонометрия. Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения.

Новый взгляд на формулы сложения через скалярное произведение векторов:

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их длин (а они равны единице из единичной окружности) на косинус угла между ними (а угол, как мы видим, равен a-b), то получаем:

Также можно вывести формулу косинуса суммы двух углов:

Синус суммы выведем следующим образом:

Несложно получить и тангенс с котангенсом:

Математика. Вычитание векторов.

Как не путаться в вычитании векторов?

a-b=c   <=>   a+(-b)=c
Таким образом, вектор разности можно получить как вектор суммы a и (-b). На второй картинке работает правило параллелограмма. Легко заметить, что искомый синий вектор из первой картинки равен синему вектору из второй.

Математика. Теорема синусов.

Теорема синусов. Простейшее доказательство.

h=a×sinb=b×sina. a×sinb=b×sina, следовательно a/sina=b/sinb...=c/sinc

Математика. Теорема о биссектрисе.

Теорема о биссектрисе. Биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Имеем треугольник АВС. Биссектриса АМ делит треугольник на два треугольника: ABM и ACM. Площадь ABM=BM×h=x×h. Площадь ACM=CM×h=y×h.

Отношение площади ABM к АСМ=x/y=c/b.

Математика. Площадь треугольника.

1. Выразим площадь треугольника через две стороны и угол.

Площадь равна (СB×AM)/2=(a×h)/2=(a×b×sin¥)/2.

2. Площадь треугольника через вписанную окружность. Пусть в треугольник ABC вписана окружность.

Площадь треугольника можно разбить на площадь трёх внутренних треугольников: BOC, COA, AOB. S(ABC)=S(BOC)+S(COA)+S(AOB)=(a×h)/2+(b×h)/2+(c×h)/2=(a×r)/2+(b×r)/2+(c×r)/2=(a+b+c)/2×r=P/2×r.

Математика

Теорема косинусов. Доказательство через тригонометрию.

Имеем треугольник ABC. CB=a, CA=b, АВ=c. Угол между b и а = гамма. Нужно выразить сторону с.

Готово.

Тригонометрия

Построение графиков синуса, косинуса и тангенса.

Следует запомнить, как строить синусоиду по клеткам. Дело в том, что удобнее всего брать не хаотичный масштаб, а как на картинке. pi, равную 3.14, так и взять за 3 единичных отрезка. Слева от графика представлена единичная окружность. Проведя прямые от нужных точек к графику, мы получим искомые координаты.

То же с косинусом. Cos(pi/2) = 1. Рисунок это подтверждает.

В случае с тангенсом проводим касательную к окружности, на которой будем отмечать лучи от нужных нам углов. Соединяя точки на касательной с графиком, получим нужные координаты.

Алгебра

Сложение (вычитание) графиков

Думаю, всё с рисунка понятно. Координаты графиков складываем/вычитаем и получаем искомый.

Алгебра

Бином Ньютона

Английский язык

Смена времён в английском. Ещё табличка))

today - that day, yesterday - the day before, tomorrow - the next day, ...ago - ...before, this - that, these - those, here - there, last year - the year before, next - the following

Тригонометрия

Как легко запомнить формулы приведения по тригонометрии?

Обычно требуют их "зубрить". Но кому это интересно?))

Предлагаю вашему вниманию мнемоническое правило, позволяющее ничего не учить, но также хорошо ориентироваться.

1. Лошадиное правило

В старые добрые времена жил-был математик, вычисляя формулы приведения, он указкой вёл по осям единичной окружности. Если нужно было посчитать (90+-а), (270+-а), он вёл по оси у и спрашивал себя нужно ли менять функцию на кофункцию. Рядом стоявшая лошадь, уставившись на указку, кивала вверх-вниз. Высчитывая (180+-а) и (360+-а), он указкой вёл по оси х, а лошадь, следя за указкой, мотала головой в стороны. Так, высчитывая любую формулу, учёный ориентировался на ответ лошади. И только потом он разгадал, почему лошадь никогда не ошибалась.

Так, если в формуле стоят числа 90(pi/2) или 270(3pi/2), то вспоминаем лошадь и меняем функцию на кофункцию: sin на cos, tg на ctg и т.д.

    2.               Теперь нужно определиться с знаком. Плюс или минус?

Синус - это у. Всё, что выше нуля - положительное, всё, что ниже - отрицательное. Косинус - это х. Всё, что правее нуля - положительное, левее - отрицательное. Тангенс и котангенс легко высчитываются делением соответствующих чисел.

Надеюсь понятно :)

Какое это имеет значение к формулам приведения?

Посмотрим сразу на практике:

• cos (90+a) - ?

90? Вертикальный диаметр. Меняем функцию на кофункцию. Косинус 90+а находится во второй четверти. Смотрим на картинку. Знак минус. Значит cos (90+a) = -sin a

• sin (360-a) - ?

360 лежит на горизонтальном диаметре. => не меняем функцию, оставляем синус. Смотрим на рисунок. Синус 360-а принадлежит четвертой четверти, он там отрицательный. Значит sin (360-a)= -sin a.

Химия. 8 класс.

Обожаю структурированный материал. Таблица химических реакций. Всё предельно ясно.)

Сюда же очень полезный сайтик: ru.webqc.org/balance.php

Тригонометрия

Я нигде не могла найти полную таблицу, расписала её сама. Делюсь.

Всё, что от вас требуется - просто найти пересечение в таблице и выписать в ответ)

Пример:

Если её выучить, можно совершенно не заморачиваться на тригонометрии в ЕГЭ.

Тригонометрия

Как без транспортира нарисовать углы 30,45,60?

Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему. Можно без транспортира быстро построить угол в 30 градусов, запомнив примерное значение - 3/5. Разница между примерным значением и истинным - 0,023.

Угол 45 градусов - самый легкий. Удивительно, но многие забывают тангенс и котангенс 45. Он равен единице. 45 - это угол между диагональю квадрата и стороной. А как известно стороны квадрата равны, => их отношение - 1.

Это тоже несложно запоминается. 7/4. Разница между примерным значением и истинным - 0,02.

Таким образом, можно без транспортира быстро нарисовать на клетках нужные нам углы. Очевидно, что 120, 135 и 150 находятся тем же образом, только лежат по другую сторону от нуля.

Тригонометрия

Вот так можно легко запомнить значения синуса и косинуса.

Вообще, можно запомнить порядок для синуса, а таблицу для косинуса уже не составит дополнить никакого труда.

Поясню. От 0 до 90 значения все знают. Далее просто продолжаем писать 32101234.

Так как синус и косинус отличаются на pi/2 (см графики) 

то просто переносим значения синуса как показано красной линией на первом рисунке. Косинус на графике как бы запаздывает за синусом на pi/2, соответственно запаздывают и его значения. Всё просто))

P.S. tg=sin/cos. Для тангенса просто делим одно на другое. И запоминать ничего не надо ;)

Карта мозга Пенфилда

Вводная часть

Привет. Краткая предыстория.
Раньше я вела блог для себя, скидывала сюда фотографии, писала разные разности. Из-за нехватки времени два раза всё удаляла.

Оживляю блог в третий раз) зачем? Часто я ищу информацию, которая мне интересна или так или иначе необходима. Нахожу изумительный материал в редких советских учебниках, или иностранных сайтах, или, или... Когда нужно это освежить в памяти, снова приходится всё искать и поднимать. Так вот, я решила скидывать всё сюда. Буквально всё. Медицина/школьные предметы/искусство/заметки и прочее. Никакой структуры. Только теги, я считаю, их достаточно :)
Жадничать материалом не буду, если хотите, пользуйтесь. Также для вас буду загружать разный полезный стафф, который мне не нужен, но, так сказать, "жалко выбросить". Проходим, не стесняемся. Если материал пригодился, поблагодарите, мне будет очень приятно, что не впустую трачу время.

Меня кстати Карина зовут)